\chapter{1908年，米氏理论（Mie Theory）：\\ 球形颗粒光散射的严格解}
\author{李国斌 }
\date{2025.08.31}
	
	\begin{abstract}
		米氏理论是光散射领域的一个里程碑式的成就，由德国物理学家古斯塔夫·米（Gustav Mie）于1908年在其论文《Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen》中提出。该理论通过直接求解麦克斯韦方程组（Maxwell's Equations），为任意尺寸、各向同性的球形颗粒对平面电磁波的散射问题提供了严格的解析解。它统一描述了从瑞利散射（粒子远小于波长）到几何光学（粒子远大于波长）的整个区间，完美解释了瑞利散射所无法处理的云朵白色、金属胶体颜色等现象。本文旨在阐述米氏理论的历史动机、核心思想与求解框架，并讨论其深远影响。
	\end{abstract}
	
	\section{引言：瑞利散射的局限与米的动机}
	1908年，古斯塔夫·米并非旨在研究大气光学。他的核心动机是解释**胶体金悬浮液（colloidal gold）丰富多彩的颜色**。当时主导的瑞利散射理论（$I \propto \lambda^{-4}$）成功解释了天空的蓝色，却无法解释为何不同尺寸的金纳米颗粒会呈现红色、蓝色乃至紫色。
	
	米的洞察在于认识到：当散射体的尺寸与入射光波长可比拟甚至更大时，瑞利基于“点偶极子”的近似的模型完全失效。颗粒不能被视为一个简单的振荡偶极子，其内部和表面的电磁场边界条件必须被严格满足。米氏的解决方案是回归到电磁理论的第一性原理——麦克斯韦方程组，并针对球形这一特殊但极其重要的几何形状，求得了严格解。
	
	\section{理论模型与定解问题}
	米氏理论的核心是求解一个理想的散射问题：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{入射波}: 一束单色平面波，角频率为 $\omega$，波矢为 $\mathbf{k_i}$。
		\item \textbf{散射体}: 一个半径为 $a$、复折射率为 $m = n + ik$ 的各向同性均匀介质球，嵌入在一个均匀、各向同性的背景介质中（如空气或水）。
		\item \textbf{目标}: 求解球内外全部空间的电磁场分布。
	\end{itemize}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=Stealth]
			% Draw the sphere
			\draw[fill=blue!20, even odd rule] (0,0) circle (2cm);
			\node at (0,0) {$m = n + ik$};
			\draw[dashed] (0,0) -- (2, 0) node[midway, above] {$a$};
			
			% Draw incident wave (plane wave approximation with wavefronts)
			\foreach \x in {-3, -2.5, ..., -0.5} {
				\draw[red, ->] (\x, -1.5) -- (\x, 1.5);
			}
			\draw[red, thick, ->] (-3.5, 0) -- (-0.7, 0) node[midway, above] {$\mathbf{E_i}, \mathbf{k_i}$};
			
			% Draw scattered wave (spherical)
			\foreach \angle in {30, 60, 120, 150, 210, 240, 300, 330} {
				\draw[green!50!black, ->] (0,0) -- (\angle:2.7);
			}
			\node[green!50!black] at (45:3.0) {$\mathbf{E_s}$};
			
			% Draw internal field inside the sphere
			\draw[orange, dashed, ->] (0,0) -- (0.8, 0.5);
			\draw[orange, dashed, ->] (0,0) -- (-0.5, 0.6);
			\draw[orange, dashed, ->] (0.5,-0.5) -- (0.8, -0.8);
			\node[orange] at (-0.8, -0.8) {$\mathbf{E_{int}}$};
			
			% Labels and annotations
			\node[above] at (-3, 1.8) {入射平面波};
			\node[above] at (2.5, 2.2) {散射球面波};
			\node at (-2, -2.5) {背景介质 $m_0$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{米氏散射理论物理模型示意图。入射平面波（红色）与一个折射率为 $m$、半径为 $a$ 的球形粒子相互作用，产生散射场 $\mathbf{E_s}$（绿色）并激发粒子内部场 $\mathbf{E_{int}}$（橙色）。求解需满足球面上的边界条件。}
		\label{fig:mie_setup}
	\end{figure}
	
	该问题的控制方程为频域下的麦克斯韦方程组。定解的关键在于在球坐标系下，在球面（$r = a$）上严格满足电磁场边界条件：
	\[
	\mathbf{\hat{n}} \times (\mathbf{E_i} + \mathbf{E_s}) = \mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{E_{int}} \quad \text{和} \quad \mathbf{\hat{n}} \times (\mathbf{H_i} + \mathbf{H_s}) = \mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{H_{int}} \quad \text{于} \quad r = a
	\]
	其中 $\mathbf{E_i}$, $\mathbf{E_s}$, $\mathbf{E_{int}}$ 分别为入射场、散射场和球内场。
	
	\section{求解框架：分离变量与球矢量波函数}
	米的伟大之处在于他找到了求解这个复杂边界值问题的完美数学工具：
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{坐标系选择}: 由于球的对称性，选择球坐标系 $(r, \theta, \phi)$ 是自然的。
		\item \textbf{波函数展开}: 将入射平面波、散射场和内部场都用**球矢量波函数（Vector Spherical Harmonics）** 展开。这是求解球对称问题的基础。
		\[
		\mathbf{E_i} = \sum_{n=1}^{\infty} E_n ( \mathbf{M}_{o1n}^{(1)} - i \mathbf{N}_{e1n}^{(1)} )
		\]
		\[
		\mathbf{E_s} = \sum_{n=1}^{\infty} E_n ( i a_n \mathbf{N}_{e1n}^{(3)} - b_n \mathbf{M}_{o1n}^{(3)} )
		\]
		\[
		\mathbf{E_{int}} = \sum_{n=1}^{\infty} E_n ( c_n \mathbf{M}_{o1n}^{(1)} - i d_n \mathbf{N}_{e1n}^{(1)} )
		\]
		其中 $\mathbf{M}$ 和 $\mathbf{N}$ 是球矢量波函数，上标 $(1)$ 和 $(3)$ 分别代表球贝塞尔函数 $j_n$（正则）和球汉克尔函数 $h_n^{(1)}$（出射波），$a_n, b_n, c_n, d_n$ 是待求的展开系数。
		\item \textbf{应用边界条件}: 将上述展开式代入边界条件。由于球矢量波函数的正交性，方程可以对每个多极子模式（multipole order $n$，代表电偶极子、磁偶极子、电四极子等）独立求解。
		\item \textbf{求解米氏系数}: 通过复杂的代数运算，可以解出决定散射场的关键系数——**米氏系数（Mie Coefficients）** $a_n$ 和 $b_n$：
		\[
		a_n = \frac{m j_n(mx) [x j_n(x)]' - j_n(x) [m x j_n(mx)]'}{m j_n(mx) [x h_n^{(1)}(x)]' - h_n^{(1)}(x) [m x j_n(mx)]'}
		\]
		\[
		b_n = \frac{j_n(mx) [x j_n(x)]' - m j_n(x) [m x j_n(mx)]'}{j_n(mx) [x h_n^{(1)}(x)]' - m h_n^{(1)}(x) [m x j_n(mx)]'}
		\]
		其中 $x = k a = \frac{2\pi a}{\lambda}$ 称为**尺寸参数（Size Parameter）**，是颗粒尺寸相对于波长的无量纲度量，$m = m_{\text{particle}} / m_{\text{medium}}$ 是相对复折射率。$j_n$ 和 $h_n^{(1)}$ 分别为球贝塞尔函数和球汉克尔函数，$'$ 表示对其整个自变量的微分。
	\end{enumerate}
	
	\section{散射截面与效率因子}
	求得米氏系数后，即可计算所有重要的散射物理量：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{消光、散射与吸收截面}:
		\[
		C_{\text{ext}} = \frac{2\pi}{k^2} \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1) \operatorname{Re}(a_n + b_n)
		\]
		\[
		C_{\text{sca}} = \frac{2\pi}{k^2} \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1) (|a_n|^2 + |b_n|^2)
		\]
		\[
		C_{\text{abs}} = C_{\text{ext}} - C_{\text{sca}}
		\]
		\item \textbf{散射效率因子}（散射截面与几何截面的比值）:
		\[
		Q_{\text{sca}} = \frac{C_{\text{sca}}}{\pi a^2} = \frac{2}{x^2} \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1) (|a_n|^2 + |b_n|^2)
		\]
	\end{itemize}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{scope}[xshift=0cm]
				\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[below] {$x = 2\pi a / \lambda$};
				\draw[->] (0,0) -- (0,4) node[left] {$Q_{\text{sca}}$};
				\draw[domain=0.1:0.5, smooth, samples=20, thick, red] plot (\x, {0.3*(1/\x)^4}); % Rayleigh ~1/x^4
				\draw[domain=0.5:4.5, smooth, samples=100, thick, blue] plot (\x, {2.5 + 0.3*sin(deg(2.5*\x))}); % Mie oscillations
				\node[red, above] at (0.3, 2) {瑞利区 $Q_{\sca} \propto x^4 \propto \lambda^{-4}$};
				\node[blue, right] at (4.2, 2.8) {米氏共振区};
				\draw (3, 0) -- (3, -0.1) node[below] {$1$};
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\caption{散射效率因子 $Q_{\text{sca}}$ 随尺寸参数 $x$ 的变化示意图。在 $x \ll 1$ 的瑞利区，遵循瑞利定律；当 $x \sim 1$ 时，进入米氏区，出现强烈的共振振荡；当 $x \gg 1$ 时，趋近于几何光学极限值2。}
		\label{fig:mie_efficiency}
	\end{figure}
	
	\section{结论与影响}
	米氏理论的意义远超出其最初解释胶体颜色的目标：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{理论桥梁}: 它无缝连接了瑞利散射和几何光学，是波动物理学的一个经典范例。
		\item \textbf{广泛应用}: 已成为大气物理学（气溶胶、云滴）、海洋光学（浮游粒子）、纳米光学（纳米颗粒）、生物医学（细胞表征）和工业测量（粒度分析）等领域不可或缺的定量工具。
		\item \textbf{数值计算}: 虽然解析形式复杂，但现代计算机可以快速计算米氏级数，使其得以广泛应用。
	\end{itemize}
	米氏理论完美体现了理论物理学的力量：一个基于第一性原理的优美解，能够解释极其丰富的自然现象。
	